Filtro Bessel

In elettronica e nell'elaborazione numerica dei segnali, un filtro di Bessel è un tipo di filtro lineare caratterizzato da un ritardo di gruppo (group delay) massimamente piatto nella banda passante. A differenza di altre topologie classiche, che privilegiano la selettività in ampiezza, il filtro di Bessel è progettato per minimizzare la distorsione di fase: esso garantisce che tutte le componenti frequenziali del segnale di ingresso subiscano, nel dominio del tempo, il medesimo ritardo.

Questa proprietà è resa possibile dall'utilizzo dei polinomi di Bessel, la cui struttura algebrica permette alla funzione di trasferimento del filtro di approssimare con la massima precisione possibile quella di un ritardo puro ${\textstyle e^{-sT}}$ nell'intorno della frequenza zero.

Il filtro di Bessel non è ottimizzato per la selettività in frequenza: la pendenza dell'attenuazione nella banda di transizione è molto più graduale rispetto a quella di un filtro Butterworth o Chebyshev. Di conseguenza, il filtro di Bessel non risulta ideale quando è necessaria una separazione netta tra canali adiacenti, ma diventa la scelta d'elezione in tutte le applicazioni in cui è cruciale preservare la forma d'onda del segnale originale, evitando la cosiddetta "dispersione temporale". È pertanto ampiamente utilizzato nei sistemi di comunicazione digitale ad alta velocità, nei radar a banda larga e nei crossover audio di alta precisione.

Funzione di trasferimento

Un filtro passa-basso di Bessel è caratterizzato dalla sua funzione di trasferimento:^[1]

H(s)={\frac {\theta _{n}(0)}{\theta _{n}(s/\omega _{0})}},

dove $\theta _{n}(s)$ è un polinomio di Bessel inverso, da cui il filtro prende il nome, e $\omega _{0}$ è una frequenza scelta per ottenere la frequenza di taglio desiderata. Il filtro ha un ritardo di gruppo a bassa frequenza pari a $1/\omega _{0}$ .

Poiché $\theta _{n}(0)$ è indeterminato secondo la definizione dei polinomi di Bessel inversi, ma costituisce una singolarità eliminabile, si definisce che $\theta _{n}(0)=\lim _{x\rightarrow 0}\theta _{n}(x)$ .

Polinomi di Bessel

La funzione di trasferimento del filtro di Bessel è una funzione razionale il cui denominatore è un polinomio di Bessel inverso, come nei seguenti esempi:

n=1:\quad s+1

n=2:\quad s^{2}+3s+3

n=3:\quad s^{3}+6s^{2}+15s+15

n=4:\quad s^{4}+10s^{3}+45s^{2}+105s+105

n=5:\quad s^{5}+15s^{4}+105s^{3}+420s^{2}+945s+945

I polinomi di Bessel inversi sono dati da:^[1]

\theta _{n}(s)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}s^{k},

dove

a_{k}={\frac {(2n-k)!}{2^{n-k}k!(n-k)!}}\quad k=0,1,\ldots ,n.

Impostazione dell’attenuazione di taglio

Non esiste un valore standard di attenuazione fissato per i filtri di Bessel.^[2] Tuttavia, −3,0103 dB è una scelta comune. Alcune applicazioni possono usare un’attenuazione maggiore o minore, come −1 dB o −20 dB. Impostare la frequenza di attenuazione di taglio richiede innanzitutto di trovare la frequenza che produce l’attenuazione desiderata, che verrà indicata come $\omega _{\text{c}}$ , e poi di scalare i polinomi di $H(s)$ all’inverso di tale frequenza. Per scalare i polinomi, basta aggiungere $\omega _{\text{c}}$ al termine $s$ in ciascun coefficiente, come mostrato sotto nell’esempio di filtro di Bessel a 3 poli.

{H(s)={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}}}

${H(s)'=H(s){{\text{dB desiderati a }}\omega =1}={\frac {15}{(\omega _{c}s)^{3}+6(\omega _{c}s)^{2}+15\omega _{c}s+15}}}$

$\omega _{\text{c}}$ può essere trovato con il metodo di Newton, oppure con algoritmi di ricerca degli zeri.

Trovare la frequenza di attenuazione con il metodo di Newton

Il metodo di Newton richiede un valore noto del modulo e un valore noto della derivata del modulo per ${\textstyle \vert H(j\omega _{\text{c}})\vert }$ . Tuttavia, è più semplice operare su $|H(j\omega _{\text{c}})H(-j\omega _{\text{c}})|$ e usare il quadrato del guadagno di taglio desiderato; il risultato è altrettanto accurato, quindi verranno usati i termini al quadrato.

Per ottenere ${\textstyle \omega _{\text{c}}}$ , seguire i passaggi sotto.

Se $H(s)H(-s)$ non è già disponibile, moltiplicare $H(s)$ per $H(-s)$ per ottenere ${\textstyle H(s)H(-s)}$ . Negare tutti i termini $s^{n}$ quando $(n+2)$ è divisibile per ${\textstyle 4}$ . Questo riguarda ${\textstyle s^{2}}$ , ${\textstyle s^{6}}$ , ${\textstyle s^{10}}$ , e così via. La funzione modificata verrà chiamata ${\textstyle H_{2}(s)H_{2}(-s)}$ , e questa modifica permette di usare numeri reali invece di numeri complessi quando si valuta il polinomio e la sua derivata. Il valore reale $\omega _{a}$ può ora essere usato al posto del valore complesso ${\textstyle j\omega _{a}}$ . Convertire l’attenuazione desiderata in dB, ${\textstyle A_{\text{dB}}}$ , in un valore di guadagno aritmetico al quadrato, ${\textstyle B_{\text{arith}}^{2}}$ , usando ${\textstyle B_{\text{arith}}^{2}=10^{A_{\text{dB}}/10}}$ . Per esempio, 3,010 dB si converte in 0,5, 1 dB si converte in 0,79432823, e così via. Calcolare il valore modificato $|H_{2}(s)H_{2}(-s)|$ nel metodo di Newton usando il valore reale ${\textstyle \omega _{a}}$ . Prendere sempre il valore assoluto. Calcolare la derivata della funzione modificata $H_{2}(\omega _{a})H_{2}(-\omega _{a})$ rispetto al valore reale ${\textstyle \omega _{a}}$ . NON prendere il valore assoluto della derivata.

Quando i passaggi da 1 a 4 sono completi, l’espressione che usa il metodo di Newton può essere scritta come:

\omega _{a}=\omega _{a}-(|H_{2}(\omega _{a})H_{2}(-\omega _{a})|-B^{2})/(d[H_{2}(\omega _{a})H_{2}(-\omega _{a})]/d\omega _{a})

usando un valore reale per $\omega _{a}$ , senza necessità di aritmetica complessa. Lo spostamento di $\omega _{a}$ dovrebbe essere limitato per evitare che diventi negativo nelle prime iterazioni, aumentando così l’affidabilità. Una volta completato il calcolo, $\omega _{a}$ può essere usato come $\omega _{\text{c}}$ , da impiegare per scalare il denominatore della funzione di trasferimento originale $H(s)$ . L’attenuazione della funzione modificata $G(s)$ sarà quindi praticamente pari al valore desiderato esatto a 1 rad/sec. Se eseguita correttamente, bastano poche iterazioni per impostare l’attenuazione su un ampio intervallo di valori desiderati, sia per filtri di ordine basso sia per filtri di ordine molto elevato.

Trovare la frequenza di attenuazione dalle radici

Poiché $|H(j\omega _{a})|$ non contiene alcuna informazione di fase, la fattorizzazione diretta della funzione di trasferimento non produce risultati utilizzabili. Tuttavia, la funzione di trasferimento può essere modificata moltiplicandola per $H(-s)$ , così da eliminare tutte le potenze dispari di ${\textstyle H(j\omega _{a})}$ ; questo forza a sua volta $H(j\omega _{a})$ a essere reale a tutte le frequenze, permettendo poi di trovare la frequenza che produce il quadrato dell’attenuazione desiderata.

Se $H(s)H(-s)$ non è già disponibile, moltiplicare $H(s)$ per $H(-s)$ per ottenere ${\textstyle H(s)H(-s)}$ . Convertire l’attenuazione desiderata in dB, ${\textstyle A_{\text{dB}}}$ , in un valore di guadagno aritmetico al quadrato, ${\textstyle B_{\text{arith}}^{2}}$ , usando ${\textstyle B_{\text{arith}}^{2}=10^{A_{\text{dB}}/10}}$ . Per esempio, 3,010 dB si converte in 0,5, 1 dB si converte in 0,79432823, e così via. Trovare $P(S)=H_{\text{num}}(S)H_{\text{num}}(-S)-B_{\text{arith}}^{2}H_{\text{den}}(S)H_{\text{den}}(-S)$ .

Trovare le radici di ${\textstyle P(S)}$ usando un algoritmo di ricerca degli zeri. Nell’insieme di radici ottenuto, selezionare la radice immaginaria positiva per i filtri di ordine dispari, e la radice reale positiva per i filtri di ordine pari. Le attenuazioni di taglio superiori al ripple della banda passante o inferiori al ripple della banda eliminata restituiranno più radici, quindi sarà necessario selezionare quella corretta.

Esempio semplice di frequenza di taglio con ricerca delle radici

Un esempio di attenuazione della frequenza di taglio a 20 dB usando il filtro di Bessel a 3 poli sotto riportato viene impostato come segue.

${\textstyle H(s)={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}}{\text{ (dall’esempio precedente)}}}$

${\textstyle B_{\text{arith}}^{2}=10^{20/10}=0.01{\text{ (il guadagno aritmetico al quadrato)}}}$

${\textstyle {\text{Trovare }}H(s)'{\text{ tale che }}|H(s)'|=-20{\text{ dB a }}\omega =1{\text{.}}}$

${\textstyle H(s)H(-s)={\frac {225}{-s^{6}+6s^{4}-45^{2}s+225}}}$

${\textstyle P(s)=225-B_{\text{arith}}^{2}(-s^{6}+6s^{4}-45^{2}s+225)=0.01s^{6}-0.06s^{4}+0.45s^{2}+222.75{\text{ (polinomio da fattorizzare)}}}$

${\textstyle R=j5.0771344{\text{ (la radice immaginaria positiva del polinomio sopra)}}}$

${\textstyle {\text{Per filtri di ordine pari, usare la radice reale positiva.}}}$
${\textstyle \omega _{-20{\text{ dB atten}}}=\omega _{\text{c}}=5.0771344{\text{ rad/sec (frequenza di attenuazione a 20 dB)}}}$
${\textstyle H(s)'=H(s)_{A=20{\text{ dB a }}\omega =1}={\frac {15}{(5.0771344^{3})s^{3}+(6\times 5.0771344^{2})s^{2}+(15\times 5.0771344)s+15}}}$
${\textstyle ={\frac {15}{130.87478s^{3}+154.66376s^{2}+76.157016s+15}}}$
${\textstyle {\text{Verifica:}}}$
${\textstyle |H(j)'|={\bigg |}{\frac {15}{130.87478j^{3}+154.66376j^{2}+76.157016j+15}}{\bigg |}=0.1=-20{\text{ dB di guadagno}}}$

Esempio

La funzione di trasferimento di un filtro passa-basso di Bessel del terzo ordine, cioè a tre poli, con $\omega _{0}=1$ è

H(s)={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}},

dove il numeratore è stato scelto in modo da ottenere guadagno unitario alla frequenza zero, cioè per $s=0$ . Le radici del polinomio al denominatore, cioè i poli del filtro, comprendono un polo reale in $s=-2.3222$ , e una coppia di poli complessi coniugati in $s=-1.8389\pm j1.7544$ , rappresentati sopra.

Il guadagno è quindi

G(\omega )=|H(j\omega )|={\frac {15}{\sqrt {\omega ^{6}+6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}}}.,

Il punto a −3 dB, dove $\vert H(j\omega )\vert ={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ , si verifica per $\omega =1.756$ . Questo viene convenzionalmente chiamato frequenza di taglio.

La fase è

\phi (\omega )=-\arg(H(j\omega ))=\arctan \left({\frac {15\omega -\omega ^{3}}{15-6\omega ^{2}}}\right).

Il ritardo di gruppo è

D(\omega )=-{\frac {d\phi }{d\omega }}={\frac {6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}{\omega ^{6}+6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}}.

Lo sviluppo in serie di Taylor del ritardo di gruppo è

D(\omega )=1-{\frac {\omega ^{6}}{225}}+{\frac {\omega ^{8}}{1125}}+\cdots .

Si noti che i due termini in $\omega ^{2}$ e $\omega ^{4}$ sono nulli, producendo un ritardo di gruppo molto piatto per ${\textstyle \omega =0}$ . Questo è il massimo numero di termini che possono essere posti uguali a zero, poiché nel polinomio di Bessel del terzo ordine vi sono in totale quattro coefficienti, che richiedono quattro equazioni per essere definiti. Una prima equazione specifica che il guadagno sia unitario per $\omega =0$ , e una seconda specifica che il guadagno sia nullo per $\omega =\infty$ , lasciando due equazioni per imporre che due termini dello sviluppo in serie siano nulli. Questa è una proprietà generale del ritardo di gruppo di un filtro di Bessel di ordine $n$ : i primi $n-1$ termini dello sviluppo in serie del ritardo di gruppo saranno nulli, massimizzando così la piattezza del ritardo di gruppo per $\omega =0$ .

Schema elettrico

Il circuito rappresenta un filtro Sallen-Key con guadagno unitario. La topologia utilizza una rete di retroazione positiva composta da due poli per determinare la funzione di trasferimento del secondo ordine. La caratteristica distintiva di questa configurazione, rispetto a un filtro passa-basso standard (come il Butterworth), risiede nella specifica scelta del rapporto tra i componenti passivi, dimensionati in modo tale che il denominatore della funzione di trasferimento corrisponda al polinomio di Bessel di secondo ordine.

Fattore di merito Q con resistenze uguali

Nel caso specifico della configurazione Sallen-Key con guadagno unitario e resistenze di pari valore ( ${\textstyle R_{1}=R_{2}=R}$ ), la formula del fattore di merito ${\textstyle Q}$ si semplifica notevolmente. Questa semplificazione è particolarmente utile per la progettazione di filtri standard, come il filtro di Bessel.

Partendo dalla formula generale: $Q={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{C_{2}(R_{1}+R_{2})}}$

Ponendo ${\textstyle R_{1}=R_{2}=R}$ , otteniamo: $Q={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {C_{1}}{C_{2}}}}$

Relazione tra capacità e risposta del filtro con ω = 0

Da questa equazione è possibile derivare il rapporto necessario tra le capacità per ottenere una specifica risposta in frequenza:

Filtro di Bessel: Per ottenere una risposta di Bessel del secondo ordine, che garantisce un ritardo di gruppo costante e un'ottima risposta nel dominio del tempo, è necessario impostare ${\textstyle Q\approx 0.577}$ (ovvero ${\textstyle 1 \over {\sqrt {3}}}$ ).

Sostituendo tale valore nella formula: ${\frac {1}{\sqrt {3}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {C_{1}}{C_{2}}}}\implies {\frac {C_{1}}{C_{2}}}={\frac {4}{3}}$

Pertanto, imponendo ${\textstyle C_{1}={\frac {4}{3}}C}$ e ${\textstyle C_{2}=C}$ , si ottiene un filtro con le caratteristiche ideali di fase lineare tipiche del profilo di Bessel.

Voci correlate

Bibliografia

1 2 (EN) Giovanni Bianchi e Roberto Sorrentino, Electronic filter simulation & design, McGraw–Hill Professional, 2007, pp. 31–43, ISBN 978-0-07-149467-0.
↑ (EN) Larry D. Paarmann, Design and Analysis of Analog Filters: A Signal Processing Perspective, Kluwer Academic Publishers, 2001, Norwell, Massachusetts, US, ISBN 0-7923-7373-1.

Collegamenti esterni

(EN) Bessel and Linear Phase Filters, su filter-solutions.com. URL consultato il 5 giugno 2024 (archiviato dall'url originale il 29 giugno 2008).
(EN) Dennis Bohn, A Bessel Filter Crossover, and Its Relation to Others, su Rane Corporation. URL consultato il 5 giugno 2024 (archiviato dall'url originale il 24 febbraio 2014).
(EN) Bessel Filter Constants (PDF), su CRBond.com. URL consultato il 5 giugno 2024 (archiviato il 16 dicembre 2023).
(EN) R.W. Erickson, Filter Circuits (PDF), su ece-www.colorado.edu. URL consultato il 5 giugno 2024 (archiviato dall'url originale il 4 luglio 2006).
(EN) Bessel Filter, su Texas Instruments. URL consultato il 21 luglio 2006 (archiviato dall'url originale il 24 gennaio 2013).

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[Bianchi2007-1] 1 2 (EN) Giovanni Bianchi e Roberto Sorrentino, Electronic filter simulation & design, McGraw–Hill Professional, 2007, pp. 31–43, ISBN 978-0-07-149467-0.

[Paarmann2001-2] (EN) Larry D. Paarmann, Design and Analysis of Analog Filters: A Signal Processing Perspective, Kluwer Academic Publishers, 2001, Norwell, Massachusetts, US, ISBN 0-7923-7373-1.

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